Cookies op Tweakers

Tweakers maakt gebruik van cookies, onder andere om de website te analyseren, het gebruiksgemak te vergroten en advertenties te tonen. Door gebruik te maken van deze website, of door op 'Ga verder' te klikken, geef je toestemming voor het gebruik van cookies. Wil je meer informatie over cookies en hoe ze worden gebruikt, bekijk dan ons cookiebeleid.

Meer informatie

Patroon ontdekt in priemgetallen

Priemgetallen blijken minder willekeurig dan gedacht en laten zelfs een patroon zien. Dat ontdekten twee wiskundigen van Stanford University in de Verenigde Staten. Het blijkt zo te zijn dat priemgetallen die elkaar opvolgen, minder vaak hetzelfde nummer aan het eind hebben.

Dit laatste betekent dat een priemgetal dat op 1 eindigt minder vaak wordt gevolgd door een ander priemgetal eindigend op 1. Als priemgetallen willekeurig zouden zijn, zou dit niet het geval zijn. Nu zijn priemgetallen ook niet willekeurig, maar gedragen zich wel in veel opzichten zo. Wetenschappers beschouwen de opeenvolgende reeks priemgetallen als pseudowillekeurig omdat geen structuur aan te geven is waar in de reeks een priemgetal voorkomt. De onderzoekers Kannan Soundararajan en Robert Lemke Oliver ontdekten echter een afwijking in de willekeur, in eerste instantie bij het getal 1. Priemgetallen eindigen na 2 en 5 altijd op 1, 3, 7 of 9. Een priemgetal is een natuurlijk getal en alleen deelbaar door 1 en zichzelf.

De onderzoekers ontdekten dat in de eerste 100 miljoen priemgetallen een priemgetal eindigend op 1 in slechts 18,5 procent van de gevallen werd gevolgd door een ander priemgetal eindigend op 1. Als priemgetallen echt willekeurig zijn, zou het volgende getal in 25 procent van de gevallen op 1 moeten eindigen. Priemgetallen met een 9 op het eind volgden in 22 procent van de gevallen een priemgetal met een 1 op het eind op. Priemgetallen die eindigen met een 7 of 3 komen ieder 30 procent voor.

Eenzelfde patroon bleek voor priemgetallen eindigend op 3, 7 en 9 te gelden: die werden eveneens het minst vaak opgevolgd door een priemgetal eindigend op hetzelfde cijfer. Ondanks dat het patroon minder sterk wordt bij hogere priemgetallen - de onderzoekers checkten getallen tot een paar biljoen - bleef de afwijking zichtbaar.

Soundararajan kreeg het idee dit te onderzoeken na een lezing over tossen. In de lezing werd gesteld dat als Alice een munt tost totdat ze een kop door een munt gevolgd ziet, en Bob een munt tost totdat hij twee koppen achter elkaar ziet, Alice dan gemiddeld vier keer zal moeten tossen, tegen zes keer tossen voor Bob.

Soundararajan vroeg zich af of dit vreemde fenomeen zich ook op andere terreinen voordoet. Omdat hij al jaren met priemgetallen bezig is, besloot hij te kijken of hier hetzelfde aan de hand is. Dat bleek inderdaad het geval. Hij keek naar priemgetallen met grondtal 3, waarbij grofweg de helft van de priemgetallen op 1 en de helft op 2 eindigt. Priemgetallen onder 1000 in base 3 die eindigden op 1 werden meer dan twee keer zo veel gevolgd door een priemgetal eindigend op 2, en vice versa.

Nadat Soundararajan zijn bevindingen liet zien aan Oliver, schreef die een programma om veel verder langs de lijn van priemgetallen te kunnen zoeken; namelijk door de eerste 400 miljard priemgetallen. Dat toonde hetzelfde aan. Ook bleek dit niet alleen het geval te zijn voor grondtal 3 en 10, maar ook voor andere grondtallen.

Waarom het laatste cijfer van een priemgetal niet willekeurig verdeeld lijkt te zijn, is niet helemaal duidelijk. De onderzoekers vermoeden dat het te doen heeft met hoe vaak paren, groepen van drie en grotere groepen van priemgetallen voorkomen, zoals voorspeld door het k-tuple-vermoeden.

Volgens de onderzoekers lijkt hun vinding geen invloed te hebben op praktisch gebruik van priemgetallen, zoals voor cryptografie.

De paper is te vinden op de arXiv-server.

Door Krijn Soeteman

Freelanceredacteur

15-03-2016 • 18:15

134 Linkedin Google+

Reacties (134)

Wijzig sortering
Nee, 1. zegt inderdaad dat er oneindig veel priemgetallen zijn die op 1 eindigen, en ook oneindig veel die op 3 eindigen, en idem dito voor 7 en 9. Alleen dat volgt niet vanzelfsprekend uit enkel het feit dat er oneindig veel priemgetallen zijn (zoals Amanush concludeerde).

2. zegt dat er bijvoorbeeld niet per se evenveel priemgetallen hoeven te zijn die op 3 eindigen als op 7. Het zou best zo kunnen zijn, maar dat kunnen we niet zomaar concluderen uit het feit dat er van allebei oneindig veel zijn.
Ik heb achter alle 16 mogelijke reeksen die gegooid kunnen worden met 4 keer achter elkaar een munt gooien gezet of de gevraagde combinaties (kop-kop of kop-munt achter elkaar) er in voorkomen. Dit om te laten zien dat de kans op kop-munt achter elkaar (11 keer) groter is dan de kans op kop-kop (8 keer), zoals Pepper92 intuitief ook al uitlegt.
Klopt :) ,je hebt niets anders dan gelijk met deze voorwaarde " In de lezing werd gesteld dat als Alice een munt tost totdat ze een kop door een munt gevolgd ziet, en Bob een munt tost totdat hij twee koppen achter elkaar ziet, Alice dan gemiddeld vier keer zal moeten tossen, tegen zes keer tossen voor Bob.

Ik dacht op een gehele andere lijn ,zoals ik al zei ,alleen kop of munt en niet 2 koppen achter elkaar in die verhouding .Thanx Rick , en mijn excuus voor dat ik je fout noemde :)

[Reactie gewijzigd door tweaker1971 op 16 maart 2016 07:54]

"Vervolgens maakte de alwetende assistent een lege deur open" Dan heb je automatisch nog maar 2 keuze`s 2 uit 2 .Het is dan 50/50 geworden en geen 33 % kans uit /100 meer .
In de link draaien ze het om en zeggen dat je een kans hebt uit 2 op 3 maar 1 deur is toch al weg,dus die telt niet meer en dus is het 1 op 2 ipv 2 op 3 geworden.

Maar met deze 2 regels ; (maar dan moet ik de regels ook weten)
1. Zij zal nooit aan de deur komen van jouw keuze, die kans blijft dan ook altijd hetzelfde
2. Zij zal nooit aan de deur komen waar de prijs achter zit.


Stel je voor ,ik sta in de studio met Hans Kazan en assistente .Ik kies deur nummer 1 .Hans zegt ,"we gaan nu een deur open maken waar die in ieder geval niet achter zit ",en de assistente maakt deur nummer drie open. Dan zou ik goed hebben gekozen,de prijs zit achter deur nr 1 ,omdat de assistente nooit aan de deur met de prijs zou komen ,dus 2 zou ze nooit open doen.De enigste die open gaat,over blijft is is 1 .

Maar dit > Het misconcept bij dit probleem is eenvoudig. Velen denken namelijk dat er een 1:1 kansverdeling is en dat dus de kans op een prijs bij beide deuren 50% is. Dit is niet waar! De kans dat de kandidaat een prijs wint als hij/zij vasthoudt aan zijn/haar eerste keuze, is 1/3 (33%) en de kans op een prijs bij wisselen is 2/3 (67%).< klopt dan niet want ik hield vast aan mijn 1st keuze

Off topic; Ik had gehoord dat er snel verschoven werd,de prijzen stonden meestal op plateau`s met wielen eronder,zodat de kandidaat soms als nog wel de gesponsorde prijs kreeg ,die dan uitgebreid in beeld kwam.Een vorm van reclame .

[Reactie gewijzigd door tweaker1971 op 16 maart 2016 08:10]

Een patroon kenmerkt zich door het ogenschijnlijk terugkerend patroon. In het geval van toeval zou dit voor een bepaalde reeks mogelijk zijn maar in een reeks van 400 miljard priemgetallen is dat dan wel heel veel "toeval".

Uiteindelijk is alles om ons heen gebonden aan wiskundige / natuurkundige wetten. Dat iets met "toeval"gebeurd heeft meer te maken met het feit dat wij het (nog) niet hebben/ hadden kunnen voorspellen.
Ja, maar bij priemgetallen is héél goed te zeggen dat p+1 geen priemgetal is, en dat als p - 2 óók een priemgetal is, dat p + 2 dat dan niet is e.d. Bij priemgetallen is redelijk goed te achterhalen wat niet het volgende getal zal zijn.

Voor p > 5 natuurlijk ;)

[Reactie gewijzigd door Elijan9 op 15 maart 2016 20:22]

Het punt is vooral dat als ik je priemgetal nr 25 tm 50 geef je moeilijk het volgende getal kunt voorspellen zonder kennis over hoe ik de getallen genereer.
Het is wel weer een stap opweg naar het kraken van encryptie die vaak gebaseerd is op het gebruik van een tweetal priemgetallen.
Intern wel, maar verder rekent een computer natuurlijk hoe je wil. Geloof het of niet, maar ik doe zo nu en dan ook wel eens een decimale berekening.

Bij dit soort problemen lukt het veel mensen niet om representatie los te zien van de theorie zelf. Genoeg mensen die denken dat 10 zo'n mooi getal is, omdat als je 10x10 uitrekent, daar wéér zo'n mooi rond getal uitkomt.
In de context van natuurlijke text bedoel ik natuurlijk 10 met decimale betekenis en niet in elk mogelijke representatie die je kunt bedenken, net zoals deze comment niet als Engels gelezen moet worden, ook al hebben Engels en Nederlands toevallig hetzelfde alfabet. :+

Dus wederom: lastig, representatie en betekenis gescheiden houden. We zouden standaard het subscript dec in moeten voeren. Neem je 8dec eieren mee van de supermarkt? Dit artikel zou er in ieder geval duidelijker van worden.

[Reactie gewijzigd door bwerg op 16 maart 2016 09:07]

In welk stelsel representeert 8stelsel een ander aantal eieren dan? :+
als je naar het eindcijfer kijkt, dan is de base wel degelijk van belang, want je bekijkt een eigenschap van de symbolische representatie van het priemgetal (dat zelf onafhankelijk is van de base). Maar door een andere representatie geeft iedere base andere resultaten.

Op dit item kan niet meer gereageerd worden.


OnePlus 7 Pro (8GB intern) Microsoft Xbox One S All-Digital Edition LG OLED C9 Google Pixel 3a XL FIFA 19 Samsung Galaxy S10 Sony PlayStation 5 KPN

Tweakers vormt samen met Tweakers Elect, Hardware.Info, Autotrack, Nationale Vacaturebank, Intermediair en Independer de Persgroep Online Services B.V.
Alle rechten voorbehouden © 1998 - 2019 Hosting door True